# 量子世界的基本數學

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以下只介紹非常簡單且基礎的量子知識，想要打好基礎還是建議找本原文書啃起～
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### 狄拉克符號(Dirac notation)

在了解量子之前，首先要了解狄拉克符號，狄拉克符號是量子力學中廣泛使用的一種符號，為狄拉克1939年所制定的標準符號系統，又分為括量(ket)以及包量(bra)。

### 狄拉克符號的矩陣表示

括量

$$
|\psi\rangle =
\left(\begin{array}(
\psi\_1\\\\
\psi\_2\\\\
\psi\_3\\\\
\vdots\\\\
\psi\_N
\end{array} \right)
$$

包量

$$
\langle\psi| = \left(\begin{array}{} \psi\_1,\ \psi\_2,  \ \cdots, \ \psi\_N   \end{array}\right)
$$

### 量子常見的運算與性質

#### 量子的常見表示

$$
|\psi\rangle = \alpha|\psi\_1\rangle\ + \beta|\psi\_2\rangle\ +\ \cdots \ +\gamma|\psi\_N\rangle\tag{1}
$$

* $$|\psi\rangle$$ 稱之為 $$|\psi\_1\rangle,\ |\psi\_2\rangle \ \cdots\ |\psi\_N\rangle$$ 的疊加態(superposition)
* $$\alpha,\ \beta\ \cdots\ \gamma$$稱為機率幅，其平方為觀測到該量子態的機率，比方說 $$\alpha^2$$ 是觀測到 $$|\psi\_1\rangle$$ 的機率(amplitudes)
* 機率幅的平方何為1， $$\alpha^2+\beta^2+\cdots+\gamma^2=1$$ 

但是平時表示上，不太可能使用(1)這種方式一個個列出來，如果共有n個qbits，我們可以將(1)轉化為以下這種更科學的表示方式：

$$
\sum\_{i=0}^{2^n-1} \alpha\_i|i\rangle
$$

如果要以矩陣表示或是計算時：

$$
|\psi\rangle = \begin{bmatrix}\alpha\\\beta\\\vdots\\\gamma\end{bmatrix}
$$

#### 張量積(tensor product)

張量積應用廣泛，記為 ： $$\otimes$$ 

$$
b\otimes a\rightarrow\begin{bmatrix}b\_1\b\_2\b\_3\b\_4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a\_1\&a\_2\&a\_3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
a\_1b\_1 \&a\_2b\_1\&a\_3b\_1\\
a\_1b\_2 \&a\_2b\_2 \&a\_3b\_2 \\
a\_1b\_3 \&a\_2b\_3 \&a\_3b\_3 \\
a\_1b\_4 \&a\_2b\_4 \&a\_3b\_4 \\
\end{bmatrix}
$$

寫成通式 ：

$$
U\otimes V = \begin{bmatrix}a\_{11}V \&a\_{12}V&\cdots\a\_{21}V\&a\_{22}V&\cdots\ \vdots&\vdots&\ddots\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
u\_{11}v\_{11}  \&u\_{11}v\_{12} &\cdots \&u\_{12}v\_{11} \&u\_{12}v\_{12} &\cdots\\
u\_{11}v\_{21} & u\_{11}v\_{22} &\cdots \&u\_{12}v\_{11} \&u\_{12}v\_{22} &\cdots\\
\vdots&\vdots&\ddots\\
u\_{21}v\_{11}\&u\_{21}v\_{12}\\
u\_{21}v\_{21}\&u\_{21}v\_{22}\\
\vdots&\vdots\\

\end{bmatrix}
$$

將張量積運用於量子上，其實可以想像成兩個量子態的所有可能組合，也就疊加態，舉個例子：

給定兩個量子疊加態：

$$
|\varphi\rangle = a|0\rangle+b|1\rangle\ \ \ \ \ \ \  \ \ \ \  |\psi\rangle = c|0\rangle+d|1\rangle\\
$$

其張量積為

$$
\begin{aligned}|\varphi\rangle\otimes|\psi\rangle &=(a|0\rangle+b|1\rangle)\otimes(c|0\rangle+d|1\rangle)
\\&=ac|00\rangle+ad|01\rangle+bc|10\rangle+bd|11\rangle
\end{aligned}
$$

### 迪拉克函數的簡單性質與計算

$$
\langle\psi|\varphi\rangle=\langle\varphi|\psi\rangle^\*\tag{1}
$$

$$
\tag{2}\langle\varphi|(a|u\rangle+b|v\rangle)=a\langle\varphi|u\rangle+b\langle\varphi|v\rangle
$$

$$
(|u\rangle\langle v|)|\psi\rangle = |u\rangle(\langle v|\psi\rangle)\tag{3}
$$

#### 酋矩陣(么正矩陣，Unitary Matrix)

作用在量子上的操作必須是酋矩陣，酋矩陣定義如下：

$$
UU^{\dagger} = I
$$

$$U$$ 是酋矩陣，若且唯若其共軛轉置矩陣是其本身的反矩

#### 阿達馬閘(Hadamard Gate)

阿達馬閘是只對一個一個量子位元進行操作的閘，給定如下：

$$
H=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1&1\1&-1\end{bmatrix}
$$

顯而易見的， $$HH^{\dagger} = I$$ ，阿達馬矩陣為求矩陣，而其主要功能如下

$$
\begin{aligned}
\&H|0\rangle=\frac{|0\rangle+|1\rangle}{\sqrt{2}}
\&H|1\rangle=\frac{|0\rangle-|1\rangle}{\sqrt{2}}
\end{aligned}
$$

#### 常見的量子態

$$
|0\rangle = \begin{bmatrix}1\0\end{bmatrix} \ \ \ \ \ \ \ \ \\
|1\rangle = \begin{bmatrix}0\1\end{bmatrix}
$$

$$
|+\rangle = \frac{|0\rangle+|1\rangle}{\sqrt{2}}\ \ \ \ \ \ \ |-\rangle = \frac{|0\rangle-|1\rangle}{\sqrt{2}}
$$


---

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