量子世界的基本數學

在本章節，將簡單介紹量子世界中，最基礎的數學相關知識

以下只介紹非常簡單且基礎的量子知識，想要打好基礎還是建議找本原文書啃起～

狄拉克符號(Dirac notation)

在了解量子之前，首先要了解狄拉克符號，狄拉克符號是量子力學中廣泛使用的一種符號，為狄拉克1939年所制定的標準符號系統，又分為括量(ket)以及包量(bra)。

狄拉克符號的矩陣表示

括量

|\psi\rangle = \left(\begin{array}( \psi_1\\\\ \psi_2\\\\ \psi_3\\\\ \vdots\\\\ \psi_N \end{array} \right)

包量

⟨ψ∣=(ψ1, ψ2, ⋯ , ψN)\langle\psi| = \left(\begin{array}{} \psi_1,\ \psi_2, \ \cdots, \ \psi_N \end{array}\right)

量子常見的運算與性質

量子的常見表示

∣ψ⟩=α∣ψ1⟩ +β∣ψ2⟩ + ⋯ +γ∣ψN⟩(1)|\psi\rangle = \alpha|\psi_1\rangle\ + \beta|\psi_2\rangle\ +\ \cdots \ +\gamma|\psi_N\rangle\tag{1}

  • ∣ψ⟩|\psi\rangle 稱之為 ∣ψ1⟩, ∣ψ2⟩ ⋯ ∣ψN⟩|\psi_1\rangle,\ |\psi_2\rangle \ \cdots\ |\psi_N\rangle 的疊加態(superposition)

  • α, β ⋯ γ\alpha,\ \beta\ \cdots\ \gamma 稱為機率幅，其平方為觀測到該量子態的機率，比方說 α2\alpha^2 是觀測到 ∣ψ1⟩|\psi_1\rangle 的機率(amplitudes)

  • 機率幅的平方何為1， α2+β2+⋯+γ2=1\alpha^2+\beta^2+\cdots+\gamma^2=1

但是平時表示上，不太可能使用(1)這種方式一個個列出來，如果共有n個qbits，我們可以將(1)轉化為以下這種更科學的表示方式：

∑i=02n−1αi∣i⟩\sum_{i=0}^{2^n-1} \alpha_i|i\rangle

如果要以矩陣表示或是計算時：

∣ψ⟩=[αβ⋮γ]|\psi\rangle = \begin{bmatrix}\alpha\\\beta\\\vdots\\\gamma\end{bmatrix}

張量積(tensor product)

張量積應用廣泛，記為 ： ⊗\otimes

b⊗a→[b1b2b3b4][a1a2a3]=[a1b1a2b1a3b1a1b2a2b2a3b2a1b3a2b3a3b3a1b4a2b4a3b4]b\otimes a\rightarrow\begin{bmatrix}b_1\\b_2\\b_3\\b_4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_1&a_2&a_3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_1b_1 &a_2b_1&a_3b_1\\ a_1b_2 &a_2b_2 &a_3b_2 \\ a_1b_3 &a_2b_3 &a_3b_3 \\ a_1b_4 &a_2b_4 &a_3b_4 \\ \end{bmatrix}

寫成通式 ：

U⊗V=[a11Va12V⋯a21Va22V⋯⋮⋮⋱]=[u11v11u11v12⋯u12v11u12v12⋯u11v21u11v22⋯u12v11u12v22⋯⋮⋮⋱u21v11u21v12u21v21u21v22⋮⋮ ]U\otimes V = \begin{bmatrix}a_{11}V &a_{12}V&\cdots\\a_{21}V&a_{22}V&\cdots\\ \vdots&\vdots&\ddots\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} u_{11}v_{11} &u_{11}v_{12} &\cdots &u_{12}v_{11} &u_{12}v_{12} &\cdots\\ u_{11}v_{21} & u_{11}v_{22} &\cdots &u_{12}v_{11} &u_{12}v_{22} &\cdots\\ \vdots&\vdots&\ddots\\ u_{21}v_{11}&u_{21}v_{12}\\ u_{21}v_{21}&u_{21}v_{22}\\ \vdots&\vdots\ \end{bmatrix}

將張量積運用於量子上，其實可以想像成兩個量子態的所有可能組合，也就疊加態，舉個例子：

給定兩個量子疊加態：

∣φ⟩=a∣0⟩+b∣1⟩           ∣ψ⟩=c∣0⟩+d∣1⟩|\varphi\rangle = a|0\rangle+b|1\rangle\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |\psi\rangle = c|0\rangle+d|1\rangle\\

其張量積為

∣φ⟩⊗∣ψ⟩=(a∣0⟩+b∣1⟩)⊗(c∣0⟩+d∣1⟩)=ac∣00⟩+ad∣01⟩+bc∣10⟩+bd∣11⟩\begin{aligned}|\varphi\rangle\otimes|\psi\rangle &=(a|0\rangle+b|1\rangle)\otimes(c|0\rangle+d|1\rangle) \\&=ac|00\rangle+ad|01\rangle+bc|10\rangle+bd|11\rangle \end{aligned}

迪拉克函數的簡單性質與計算

⟨ψ∣φ⟩=⟨φ∣ψ⟩∗(1)\langle\psi|\varphi\rangle=\langle\varphi|\psi\rangle^*\tag{1}
⟨φ∣(a∣u⟩+b∣v⟩)=a⟨φ∣u⟩+b⟨φ∣v⟩(2)\tag{2}\langle\varphi|(a|u\rangle+b|v\rangle)=a\langle\varphi|u\rangle+b\langle\varphi|v\rangle
(∣u⟩⟨v∣)∣ψ⟩=∣u⟩(⟨v∣ψ⟩)(3)(|u\rangle\langle v|)|\psi\rangle = |u\rangle(\langle v|\psi\rangle)\tag{3}

酋矩陣(么正矩陣，Unitary Matrix)

作用在量子上的操作必須是酋矩陣，酋矩陣定義如下：

UU†=IUU^{\dagger} = I

UU 是酋矩陣，若且唯若其共軛轉置矩陣是其本身的反矩

阿達馬閘(Hadamard Gate)

阿達馬閘是只對一個一個量子位元進行操作的閘，給定如下：

H=12[111−1]H=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}

顯而易見的， HH†=IHH^{\dagger} = I ，阿達馬矩陣為求矩陣，而其主要功能如下

H∣0⟩=∣0⟩+∣1⟩2H∣1⟩=∣0⟩−∣1⟩2\begin{aligned} &H|0\rangle=\frac{|0\rangle+|1\rangle}{\sqrt{2}} &H|1\rangle=\frac{|0\rangle-|1\rangle}{\sqrt{2}} \end{aligned}

常見的量子態

∣0⟩=[10]         ∣1⟩=[01]|0\rangle = \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix} \ \ \ \ \ \ \ \ \ |1\rangle = \begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}
∣+⟩=∣0⟩+∣1⟩2       ∣−⟩=∣0⟩−∣1⟩2|+\rangle = \frac{|0\rangle+|1\rangle}{\sqrt{2}}\ \ \ \ \ \ \ |-\rangle = \frac{|0\rangle-|1\rangle}{\sqrt{2}}
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