量子世界的基本數學

在本章節，將簡單介紹量子世界中，最基礎的數學相關知識

以下只介紹非常簡單且基礎的量子知識，想要打好基礎還是建議找本原文書啃起～

在了解量子之前，首先要了解狄拉克符號，狄拉克符號是量子力學中廣泛使用的一種符號，為狄拉克1939年所制定的標準符號系統，又分為括量(ket)以及包量(bra)。

括量

|\psi\rangle = \left(\begin{array}( \psi_1\\\\ \psi_2\\\\ \psi_3\\\\ \vdots\\\\ \psi_N \end{array} \right)

包量

\langle\psi| = \left(\begin{array}{} \psi_1,\ \psi_2, \ \cdots, \ \psi_N \end{array}\right)

|\psi\rangle = \alpha|\psi_1\rangle\ + \beta|\psi_2\rangle\ +\ \cdots \ +\gamma|\psi_N\rangle\tag{1}

$|\psi\rangle$ 稱之為 $|\psi_1\rangle,\ |\psi_2\rangle \ \cdots\ |\psi_N\rangle$ 的疊加態(superposition)
$\alpha,\ \beta\ \cdots\ \gamma$ 稱為機率幅，其平方為觀測到該量子態的機率，比方說 $\alpha^2$ 是觀測到 $|\psi_1\rangle$ 的機率(amplitudes)
機率幅的平方何為1， $\alpha^2+\beta^2+\cdots+\gamma^2=1$

但是平時表示上，不太可能使用(1)這種方式一個個列出來，如果共有n個qbits，我們可以將(1)轉化為以下這種更科學的表示方式：

\sum_{i=0}^{2^n-1} \alpha_i|i\rangle

如果要以矩陣表示或是計算時：

|\psi\rangle = \begin{bmatrix}\alpha\\\beta\\\vdots\\\gamma\end{bmatrix}

張量積應用廣泛，記為： $\otimes$

b\otimes a\rightarrow\begin{bmatrix}b_1\\b_2\\b_3\\b_4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_1&a_2&a_3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_1b_1 &a_2b_1&a_3b_1\\ a_1b_2 &a_2b_2 &a_3b_2 \\ a_1b_3 &a_2b_3 &a_3b_3 \\ a_1b_4 &a_2b_4 &a_3b_4 \\ \end{bmatrix}

寫成通式：

U\otimes V = \begin{bmatrix}a_{11}V &a_{12}V&\cdots\\a_{21}V&a_{22}V&\cdots\\ \vdots&\vdots&\ddots\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} u_{11}v_{11} &u_{11}v_{12} &\cdots &u_{12}v_{11} &u_{12}v_{12} &\cdots\\ u_{11}v_{21} & u_{11}v_{22} &\cdots &u_{12}v_{11} &u_{12}v_{22} &\cdots\\ \vdots&\vdots&\ddots\\ u_{21}v_{11}&u_{21}v_{12}\\ u_{21}v_{21}&u_{21}v_{22}\\ \vdots&\vdots\ \end{bmatrix}

將張量積運用於量子上，其實可以想像成兩個量子態的所有可能組合，也就疊加態，舉個例子：

給定兩個量子疊加態：

|\varphi\rangle = a|0\rangle+b|1\rangle\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |\psi\rangle = c|0\rangle+d|1\rangle\\

其張量積為

\begin{aligned}|\varphi\rangle\otimes|\psi\rangle &=(a|0\rangle+b|1\rangle)\otimes(c|0\rangle+d|1\rangle) \\&=ac|00\rangle+ad|01\rangle+bc|10\rangle+bd|11\rangle \end{aligned}

\langle\psi|\varphi\rangle=\langle\varphi|\psi\rangle^*\tag{1}

\tag{2}\langle\varphi|(a|u\rangle+b|v\rangle)=a\langle\varphi|u\rangle+b\langle\varphi|v\rangle

(|u\rangle\langle v|)|\psi\rangle = |u\rangle(\langle v|\psi\rangle)\tag{3}

作用在量子上的操作必須是酋矩陣，酋矩陣定義如下：

UU^{\dagger} = I

$U$ 是酋矩陣，若且唯若其共軛轉置矩陣是其本身的反矩

阿達馬閘是只對一個一個量子位元進行操作的閘，給定如下：

H=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}

顯而易見的， $HH^{\dagger} = I$ ，阿達馬矩陣為求矩陣，而其主要功能如下

\begin{aligned} &H|0\rangle=\frac{|0\rangle+|1\rangle}{\sqrt{2}} &H|1\rangle=\frac{|0\rangle-|1\rangle}{\sqrt{2}} \end{aligned}

|0\rangle = \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix} \ \ \ \ \ \ \ \ \ |1\rangle = \begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}

|+\rangle = \frac{|0\rangle+|1\rangle}{\sqrt{2}}\ \ \ \ \ \ \ |-\rangle = \frac{|0\rangle-|1\rangle}{\sqrt{2}}

Last updated 4 years ago