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# 經典 vs Deutsh-Jozsa

本小節將比較經典算法與Deutsh-Jozsa算法下的差異

### 1. 經典算法

在經典情況下，當你必須計算 $$f(0)\oplus f(1)$$ ，ㄧ定必需query兩次並且相加才能找出答案

### 2. Deutsh-Jozsa

首先我們必須先準備一個qbit，並初始化在 $$|0\rangle$$ ，並經過hadamard gate變成 $$\frac{|0\rangle+|1\rangle}{\sqrt{2}}$$ ，接著我們query一次phase oracle，得到下者

$$
|\psi'\rangle=\frac{(-1)^{f(0)}|0\rangle+(-1)^{f(1)}|1\rangle}{\sqrt{2}}
$$

接著我們思考 $$f(0)$$ 和 $$f(1)$$ 的關係

$$
f(0)\oplus f(1)=
\begin{cases}
\ 0,\ \text{if}\ f(0)=f(1)\\
\ 1,\ \text{if} \ f(0)\neq f(1)
\end{cases}
$$

而根據(1)，我們又可以得到下者

$$
|\psi'\rangle=
\begin{cases}
(\pm1)\cdot\frac{|0\rangle+|1\rangle}{\sqrt{2}},\
\text{if}\ f(0)=f(1)
\\
(\pm 1)\cdot \frac{|0\rangle-|1\rangle}{\sqrt{2}},
\text{if}\ f(0)\neq f(1)
\end{cases}
$$

這時，我們只要再經過一次hadamard gate，並且觀測 $$|\psi'\rangle$$ ，就能一路推回去了，以下我舉個例子：

$$
\begin{aligned}
|\psi'\rangle = |0\rangle &\rightarrow f(0) = f(1)\\
&\rightarrow f(0)+f(1)=0
\end{aligned}
$$

而以上算法相較於經典算法只需要一次quey就能得出答案。